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Geometrische Mechanik und geometrische Integratoren (GMGI)- Dozent/in
- Prof. Dr.-Ing. habil. Sigrid Leyendecker
- Angaben
- Vorlesung mit Übung
4 SWS, ECTS-Studium, ECTS-Credits: 5,0, Sprache Deutsch, Vorlesung und Übung werden gemeinsam geprüft und kreditiert. 3 Stunden Vorlesung + 1 Stunde Übung
Zeit und Ort: Di, Fr 14:15 - 15:45, SR LTD 02.030
Vorbesprechung: 17.4.2012, 14:45 - 15:45 Uhr, Raum SR LTD 02.030
- Studienfächer / Studienrichtungen
- WF MB-BA ab 4 (ECTS-Credits: 5,0)
WF MB-MA ab 1 (ECTS-Credits: 5,0)
WF MB-BA ab 4 (ECTS-Credits: 5,0)
WPF MB-MA ab 1 (ECTS-Credits: 5,0)
WF ME-BA ab 4 (ECTS-Credits: 5,0)
WF ME-MA ab 1 (ECTS-Credits: 5,0)
WF ME-BA ab 4 (ECTS-Credits: 5,0)
WF CE-MA ab 1 (ECTS-Credits: 5,0)
WF CE-BA-G ab 4 (ECTS-Credits: 5,0)
WF BPT-MA-M ab 1 (ECTS-Credits: 5,0)
WF WING-MA ab 1 (ECTS-Credits: 5,0)
WF WING-BA ab 4 (ECTS-Credits: 5,0)
WF M-BA ab 4 (ECTS-Credits: 5,0)
WF M-MA ab 1 (ECTS-Credits: 5,0)
WF TM-BA ab 4 (ECTS-Credits: 5,0)
WF TM-MA ab 1 (ECTS-Credits: 5,0)
WF Ph-BA ab 4 (ECTS-Credits: 5,0)
WF Ph-MA ab 1 (ECTS-Credits: 5,0)
- Inhalt
- Zur Beschreibung der Dynamik mechanischer Systeme haben sich innerhalb der analytischen Mechanik zwei Hauptzweige entwickelt, der Lagrange und der Hamilton Formalismus. Während der Lagrange Formalismus auf Variationsprinzipien beruht, basiert der Hamilton Formalismus auf der Beobachtung von Energien im System.
In dieser Veranstaltung werden die kontinuierlichen und diskreten Formulierungen der Lagrange und Hamilton Mechanik aus geometrischer Sicht behandelt mit dem Ziel, effiziente numerische Simulationen solcher Systeme zu ermöglichen.
Dazu werden zunächst grundlegende differential-geometrische Konzepte für die Lagrange- und Hamilton Mechanik eingeführt wie das Hamiltonsche Prinzip, die Symplektizität, das Noether Theorem und damit verbundene Erhaltungseigenschaften des mechanischen Systems sowie die Legendre Transformationen, die Lagrange und Hamilton Systeme ineinander überführt.
In der diskreten Formulierung werden entprechende diskrete Konzepte und diskrete Eigenschaften eingeführt. Dies bildet die Basis zur effizienten Simulation mechanischer Systeme. Die diskrete Formulierung führt zu numerischen Verfahren - sogenannten geometrischen Integratoren, deren diskrete Lösung die gleichen geometrischen Strukturen und Erhaltungseigenschaften aufweist wie die Lösung des kontinulierlichen Systems. Dieses ist vor allem bei Langzeitsimulationen von Vorteil, wie auch anhand von Beispielen gezeigt wird.
- Empfohlene Literatur
- J. Marsden und T. Ratiu. Einführung in die Mechanik und Symmetrie. Eine grundlegende Darstellung klassischer mechanischer Systeme. Springer, 2001.
J. Marsden, and M. West. Discrete mechanics and variational integrators. Acta Numerica, pp. 357-514, 2001.
E. Hairer, G. Wanner, and C. Lubich. Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. Springer, 2004.
- ECTS-Informationen:
- Credits: 5,0
- Contents
- In this course, the Lagrangian and the Hamiltonian formulation of mechanics are presented from a geometric point of view taking into account the symplectic structure of the underlying
finite dimensional state or phase manifolds, respectively. A particular focus is on Noether's theorem which relates symmetries present in the mechanical system to the conservation of momentum maps (e.g. linear and angular momentum).
Once the continuous (in time) theory has been established, a discrete formulation of Lagrangian and Hamiltonian mechanics will be presented, resulting in time-stepping schemes that inherit the geometric structure, i.e. there is a discrete symplectic form and a discrete Noether theorem. Consequently, the resulting integration schemes exhibit the conservation of momentum maps arising from symmetry.
Besides the benefit of increased numerical stability, the conservation of momentum maps and symplectic structure along the discrete (approximate) trajectory enhances its veritableness since `the unique fingerprint of the process', i.e. its `qualitative and structural characteristics' are transferred correctly to the discrete trajectory. Different examples of such geometric integrators are discussed.
- Literature
- J. Marsden, and T. Ratiu. Introduction to Mechanics and Symmetry. A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems. Texts in Applied Mathematics 17, Springer, 1994.
J. Marsden, and M. West. Discrete mechanics and variational integrators. Acta Numerica, pp. 357-514, 2001.
E. Hairer, G. Wanner, and C. Lubich. Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. Springer, 2004.
- Zusätzliche Informationen
- Erwartete Teilnehmerzahl: 40
www: http://www.studon.uni-erlangen.de/studon/goto.php?target=crs_452845
- Verwendung in folgenden UnivIS-Modulen
- Startsemester SS 2012:
- Geometrische Mechanik und geometrische Integratoren (3V+1Ü) (GMGI)
- Institution: Lehrstuhl für Technische Dynamik (LTD)
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