Analysis (Ana)17.5 ECTS
(Prüfungsordnungsmodul: Analysis)

Lehrveranstaltungen:

• • Analysis I (WS 2011/2012)
    (Vorlesung, 4 SWS, Günther Grün, Mo, Do, 12:00 - 14:00, H11; Einzeltermine am 11.11.2011, 12:15 - 13:45, H11; 6.2.2012, 16:00 - 20:00, H13)
  • Übungen zur Analysis I (WS 2011/2012)
    (Übung, 2 SWS, Günther Grün et al.)
  • Analysis II (SS 2012)
    (Vorlesung, 4 SWS, Günther Grün, Mo, 8:00 - 10:00, H11; Do, 10:00 - 12:00, H11)
  • Übungen zur Analysis II (SS 2012)
    (Übung, 2 SWS, Günther Grün et al.)

Inhalt:

Analysis I:

• Naive Mengenlehre und Logik

• Grundeigenschaften der natürlichen, rationalen und reellen Zahlen: Vollständige Induktion, Körper- und Anordnungsaxiome, Vollständigkeit, unter/obere Grenzen, Dichtheit von Q in R, abzählbare und überabzählbare Menge;

• Komplexe Zahlen: Rechenregeln und geometrische Interpretation, quadratische Gleichungen;

• Metrische und normierte Räume: Konvergenz, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit;

• Zahlenfolgen und Reihen: Konvergenzkriterien und Rechenregeln, absolute Konvergenz, Potenzreihen, unendliche Produkte;

• Elementare Funktionen, rationale Funktionen, Potenzen mit reellen Exponenten, Exponentialfunktion, Hyperbelfunktion, trigonometrische Funktionen, Monotonie und Umkehrfunktion, Logarithmus;

• Stetige reellwertige Funktionen: Zwischenwertsatz, Existenz von Minimum und Maximum auf kompakten Mengen, stetige Bilder von Intervallen und Umkehrbarkeit, gleichmäßige Stetigkeit, gleichmäßige Konvergenz;

• Differential- und Integralrechnung in einer reellen Veränderlichen: Rechenregeln für Differentiation, Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Taylorformel, Extremwerte und Kurvendiskussion, Definition des Integrals und Rechenregeln, gliedweise Differentiation, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Analysis II:

• Fourier-Reihen

• Metrische Räume: Topologie metrischer Räume, stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen, Kompaktheit, Vollständigkeit, Fixpunktsatz von Banach, Satz von Arzela-Ascoli

• Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen: Partielle Ableitung und Jacobi-Matrix, Satz von Schwarz, totale Ableitung und Linearisierung, lineare Differentialoperatoren (Gradient, Divergenz, Rotation), Lipschitz-Stetigkeit und sSchrankensatz, Extremwerte, Extrema mit Nebenbedingungen, Taylorformel,Sätze über implizite und inverse Funktionen, Untermannigfaltigkeiten.

Lernziele und Kompetenzen:

• Verständnis grundlegender analytischer Begriffe

• Aneignung von Basiswissen der Analysis

• Verwendung der Techniken der Analysis in Anwendungen

Literatur:

• Vorlesungsskripte zu diesem Modul

• O.Forster: Analysis 1, 2. Vieweg

• V. Zorich: Analysis I, II. Springer

• Hildebrandt: Analysis I, II. Springer

Organisatorisches:

• Bachelor Mathematik, Technomathematik und Wirtschaftsmathematik (1. und 2. Semester)

• Lehramt vertieft (1. und 2. Semester)

• Analysis I ist Teil der Mathematik für Physiker I für Bachelor Physik

Verwendbarkeit des Moduls / Einpassung in den Musterstudienplan:

1. Mathematik (1. Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien): 1-2. Semester
   (Po-Vers. 2010 | Pflichtmodule der Grundlagen- und Orientierungsprüfung | Analysis)

Studien-/Prüfungsleistungen:

Prüfungsleistung

Klausur, Dauer (in Minuten): 120-180, benotet

Erstablegung: SS 2012, 1. Wdh.: WS 2012/2013, 2. Wdh.: keine Wiederholung

1. Prüfer:

Günther Grün

Studienleistung

Klausur mit Übungsleistung, benotet

Erstablegung: WS 2011/20122. Wdh.: keine Wiederholung

1. Prüfer:

Günther Grün

Studienleistung

Übungsleistung, benotet

Erstablegung: SS 20122. Wdh.: keine Wiederholung

1. Prüfer:

Günther Grün